티스토리 뷰

프로이덴탈은 수학은 인간의 정신적 활동이며, 수학적 활동의 본질적인 특징이 바로 수학화 활동이라고 주장했다. 현상이 그것을 정리하는 수단인 본질로 조직되고, 그 본질은 다시 현상이 되어 새로운 본질로 조직되는 반복적인 재조직화의 과정으로 수학을 설명하면서, 현상을 본질로 조직하는 이러한 과정을 수학화로 명명하였다. 따라서 수학화란 현상을 수학자의 의지에 의해 적절히 변형되어 새로운 것, 즉 본질로 조직해 내는 조직화 활동이며, 수학화 과정은 이러한 현상과 본질의 교대 작용에 의해 수준 상승이 이루어지는 불연속적인 과정이다. 프로이덴탈은 수학을 수학적 활동의 결과로서의 기성 수학과 수학화 활동 자체에 초점을 맞춘 실행 수학으로 구분하여, 학습에서 추구해야 하는 것은 실행 수학에 대한 수학화 활동이라고 하였다. 또한, 트레퍼스라는 수학자는 수학화는 더 많은 다양한 활동으로 세분될 수 있다고 주장하며 수평적 수학화와 수직적 수학화로 구분하였다. 수평적 수학화는 현실 내의 문제를 형식적인 수학적 처리가 가능하도록 변환하는 것을 의미하며, 수직적 수학화는 좀 더 높은 수학적 처리가 가능하게 하는 것을 의미한다. 이런 구분은 절대적인 것은 아니지만, 이전에 수학 수업에서 도외시되었던 실험하기, 관찰하기, 귀납적 추론, 분류하기 등과 같은 구체적인 활동이 기호화, 일반화, 형식화와 마찬가지로 수학화 과정에 적합하다는 것을 분명히 하는 데 도움을 준다. 또한 프로이덴탈은 트레퍼스가 주장한 수평적 수학화를 현실적인 것으로 체험한 세계에서 좀 더 추상화된 기호의 세계로 넘어가는 것, 수직적 수학화를 추상화된 기호의 세계에서 기호들이 계속 형성되고, 이해되고 반성 되는 것으로 구분했다. 이러한 수학화 활동에 대한 중요성으로 프로이덴탈은 수학의 연역적인 체계만을 중시하고 그것을 초등화하여 지도하는 것을 반교수학적 전도라고 비난하고, 수학의 형식화는 맨 마지막에 이루어진다고 하였다. 또한 순수 수학만을 중시하는 것이 아니라 현실적인 문제해결에 수학을 응용하는 것이 중요하다고 했다. 인간이 반드시 배워야 할 것은 닫힌 체계로서의 수학이 아닌, 창조적인 활동으로서의 수학으로 수학을 수학화하는 과정이라고 하였다. 따라서 수학 학습의 출발점은 가능한 한 구체적인 학생의 현실이어야 한다. 또한 수학 학습의 시작은 구체적인 학생의 현실이어야 한다. 수학 학습의 과정도 학생의 현실 안에 포함된 수학적인 현상들과 요소들을 알아내어 불필요한 정보를 제거하면서 수학적인 수단으로 조직화하고 수학적인 구조를 창조하는 일련의 과정으로 이루어져야 한다. , 학생의 수준에 적합한 현실과 수학 학습이 끊어지지 않는 고리로 연결되어야 한다는 것이다. 이런 관점에서 볼 때 프로이덴탈은 수학이란 현실을 매체로 하는 인간의 정신적 활동이며, 지속적인 수준의 비약에 의한 현상과 본질의 교대 작용이 이루어지면서 조직화 되는 과정이라는 것을 알 수 있다. 따라서 제대로 된 교수법은 단순한 수학적 지식의 전달이 아니라 수학자가 수학을 창조하듯이 학생들도 활동을 통해 수학화 과정을 경험하면서 본질적 측면을 체험해야 한다. 이렇게 형성된 수학은 관계가 풍부한 현실에서 발생한 것이므로 다음의 재창조를 위한 기반이 된다. 즉 발전적 조작 가능성이 높다고 볼 수 있다. 그리고 프로이덴탈은 이미 완성된 지식으로서의 수학이 아니라 원자료 그대로의 현상으로서의 수학을 제시하면서 학습자가 활동을 통해 자신의 수학을 재발명해 나가야 한다고 주장했다. 그 결과 수학에 대한 진정한 이해와 안목을 가질 수 있으며, 그렇게 얻어진 수학은 학습자의 인격의 한 부분이 될 수 있다고 보았다. 그렇다면, 이런 수학화의 경험을 위해서는 어떤 교수 학습의 원리가 필요할까? 프로이덴탈의 주장 중에서 가장 대표적인 안내된 재발명, 반성적 사고, 현실과 결부된 수학학습에 대해 알아보자. 프로이덴탈은 학습자는 인류가 경험한 학습의 과정을 수정된 방식으로 재현한다고 주장했다. 즉 학습자의 정신 발달은 아동의 현실에서 출발해서 이미 발명된 수학을 스스로 개선된 방식으로 재창조해 나간다는 것이다. 이는 역사 발생적 원리와 같은 맥락의 주장이다. 따라서 여러 내용 사이의 지도 순서는 인류에 의해 발견된 순서를 지키되, 수업 과정에서 수학적 개념이 발생할 수 있도록 구성해야 한다. 이러한 과정에 사고 실험이 중요하다고 강조했다. 수업 장면과 수업 내용에 대한 사고 실험이 중요하다고 강조했다. 수업 내용에 대한 사고 실험은 해당 수학적 개념을 처음 발견한 수학자의 마음에서 어떤 일이 있었을까에 대한 사고 실험이며 수업 장면에 대한 사고 실험은 학습자의 반응과 그 반응에 따른 교사의 대처에 대한 사고 실험이다. 결국 이 두 가지 모두 학생의 재발명을 돕기 위한 교사의 준비이다. 교사의 준비가 사고 실험이라면 학습자의 준비는 필요성이다. 지식의 필요성이 없이는 재발명이 이루어지기 어렵기 때문이다. 이러한 필요성은 낮은 수준의 행동에 대한 반성이 이루어질 때 즉 자신이 어떻게 그렇게 했는가에 대한 메타인지가 이루어질 때 생겨난다. 이를 위해서는 교사는 인위적인 것보다는 자연스러운 상황을 통해 학습자가 현실적이고 구체적으로 받아들일 수 있는 문맥으로 제시해야 하며 안내의 과정을 통한 수학화를 경험하도록 해야 한다. 이러한 프로이덴탈의 생각은 19세기 말 클라인이 주장한 수학교육에서도 비슷하게 볼 수 있다. 그는 역사 발생적 방법에 따라 청소년들의 자연스러운 소질이 인류 전체가 원시 상태로부터 더욱 높은 인식에 이르는 그 길을 따라 천천히 추상적인 형식화에 이르도록 해야 한다고 주장하였다.

 
공지사항
최근에 올라온 글
최근에 달린 댓글
Total
Today
Yesterday
링크
TAG more
«   2024/06   »
1
2 3 4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21 22
23 24 25 26 27 28 29
30
글 보관함